En dynamique des populations, le
modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé par Pierre François Verhulst vers 1840 . Verhulst a proposé ce modèle en réponse au modèle de
Malthus qui proposait un taux d'accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population.
Le modèle de Verhulst imagine que le Taux de natalité et le Taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsque les populations sont de petites tailles, elles ont tendance à croître.
Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peut encore être touchés.
Ce modèle conduit, en temps continu, à une fonction logistique et en temps discret à une Suite logistique dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, chaotique
Mise en place mathématique
Si on appelle
- y la taille de la population
- m(y) le taux de mortalité
- n(y) le taux de natalité
la taille de la population suit l'équation différentielle
dy
–––
dt | = y(n (y) - m (y)) |
Si m et n sont des fonction affines respectivement croissante et décroissante alors n - m est une fonction affine décroissante. Si d'autre part, pour y tendant vers 0, la croissance est positive, l'équation peut s'écrire
avec a et b deux réels positifs
Puis, en posant K=a/b, l'équation devient
avec a > 0 et K > 0
Une observation immédiate montre que
- la fonction constante K est solution de cette équation
- si y < K alors la population croît * si y > K alors la population décroît.
Le paramètre K est appelé la capacité d'accueil.
Le modèle auto-catalytique conduit à la même équation (accroissement proportionnel à la population touchée et à la population restante)
dy
–––
dt | = α y (K- y) = α Ky | ( | 1- | y
––
K | ) |
Résolution en temps continu
Article détaillé : . La recherche des fonctions strictement positives définies sur
Article détaillé : . En temps discret, le modèle se transforme en| u n + 1 - u n = au n | ( | 1- | u n
–––
K | ) |
Puis, en posant
la relation de récurrence devient v n + 1 = μ v n (1 - v n )
C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme Suite logistique.
L'étude montre que le comportement varie suivant les valeurs de μ
- Pour μ compris entre 1 et 3, c'est-à-dire a compris entre 0 et 2, la suite (v n ) converge vers et l'on retrouve bien une suite (u n ) convergeant vers K
- pour μ supérieur à 3, la suite (v n ) peut , selon les valeurs de μ, osciller entre 2, 4, 8, 16.... valeurs ou bien être chaotique.
Voir aussi
Liens internes
- dynamique des populations
- Suite logistique
- fonction logistique
- Croissance exponentielle
- Modèle évolutif r/K
Liens externes
Notes et références
Catégorie : équation différentielle catégorie : démographie